Funktioner

Räkneexempel och förklaringar för funktioner

Exempel: Vi har funktionen f(x) = 2 \cdot x + 3

a) Vad är f(4)?

Svar: 11

Förklaring: f(4) innebär att vi vill stoppa in x = 4 i funktionen. När vi gör det får vi

f(4) = 2 \cdot 4 + 3

Förenklar vi så får vi alltså

f(4) = 8 + 3 f(4) = 11

---

b) Vad är f(-1)?

Svar: 1

Förklaring: f(-1) betyder att vi vi vill stoppa in x = -1 i funktionen. Då får vi

f(-1) = 2 \cdot (-1) +3 f(-1) = -2 + 3 f(-1) = 1

---

c) Vad är f(2) + f(-2)?

Svar: 6

Förklaring: Vi börjar med att stoppa in x = 2 i funktionen och får

f(2) = 2 \cdot 2 + 3 f(2) = 4 + 3 f(2) = 7

Vi stoppar sedan in x = -2 och får

f(-2) = 2 \cdot (-2) + 3 f(-2) = -4 + 3 f(-2) = -1

Om vi nu summerar dessa två värden får vi:

f(2) + f(-2) = 7 + (-1) f(2) + f(-2) = 6

Exempel: Vi kollar nu på funktionen g(x) = x^3 - 2x

a) Vad är g(3)?

Svar: 21

Förklaring: Vi stoppar in 3 i funktionen:

g(3) = 3^3 - 3 \cdot 2 g(3) = 27 - 6 g(3) = 21

---

b) Vad är g(2x)?

Svar: 8 x^2 - 4x

Förklaring: Den här kanske ser lite mer läskig ut, men det är exakt samma princip. Vi byter ut x mot 2x i funktionen och får

g(2x) = (2x)^3 - 2 \cdot (2x)

Vi börjar med att förenkla första termen:

(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3

Andra termen blir:

2 \cdot (2x) = 4x

så om vi sammanställer så får vi

g(2x) = 8 x^3 - 4x

Räkneexempel och förklaringar för definitionsmängd och värdemängd

Exempel: Vad är värdemängden för funktionen q(x) = x^2.

Svar: q(x) \geq 0

Förklaring: Eftersom ingen definitionsmängd är angiven så antar vi att definitionsmängden är hela tallinjen. Eftersom minus gånger minus blir plus så kommer inte x^2 bli negativ, vare sig då x är negativ eller positiv. Däremot så kan x^2 bli vilket positivt tal som helst. Det kan även bli 0 eftersom 0^2 = 0. Därför är värdemängden q(x) \geq 0.

---

Exempel: Vad är definitionsmängden för funktionen h(x) = \frac{1}{x-2}?

Svar: Hela tallinjen förutom x = 2

Förklaring: Här frågas det om definitionsmängd utan någon begränsning från till exempel värdemängden. Vi är då ute efter så stor definitionsmängd som möjligt, det vill säga alla tal som går att stoppa in i formeln. Men finns det några tal som inte går att stoppa in i formeln? Det vi måste komma ihåg nu är att det inte går att dela med 0! Alltså kan inte x vara något värde där nämnaren i funktionen blir 0. Nämnaren i funktionen är x-2 så division med 0 sker när:

x-2 = 0 x = 2

Alltså kan inte x = 2! Definitionsmängden för h(x) är därför alla tal utom talet 2.

---

Exempel: Vi har funktionen p(x) = 3x - 1 med definitionsmängden 0 \leq x \leq 4. Vad är värdemängden?

Svar: -1 \leq p(x) \leq 11

Förklaring: Den här gången har vi en given definitionsmängd som begränsar funktionen! Värdemängden är då alla tal som funktionen kan ge på den givna definitionsmängden. Eftersom funktionen är linjär räcker det att man kollar på gränserna av definitionsmängden. Dvs x=0 är ena gränsen för definitionsmängden, så p(0) kommer vara ena gränsen för värdemängden. På samma sätt är x=4 den andra gränsen för definitionsmängden, så p(4) är den andra gränsen för värdemängden. Vi har att

p(0) = 3 \cdot 0 - 1 p(0) = 0 - 1 p(0) = -1

vilket är ena gränsen, och

p(4) = 3 \cdot 4 - 1 p(4) = 12 - 1 p(4) = 11

som den andra gränsen. Värdemängden för den givna definitionsmängden är alltså -1 \leq p(x) \leq 11.