Grundpotensform

Vad är grundpotensform?

Grundpotensform, även kallat tiopotensform, går ut på att vi skriver ett tal som en tiopotens, alltså som talet 10 upphöjt till ett annat tal. När vi har 10 upphöjt till ett annat tal betyder det att vi multiplicerar 10 så många gånger som talet vi upphöjer till.

Ett exempel på en tiopotens är $10^3$. När vi skriver $10^3$ innebär det att vi multiplicerar 10 med 10 med 10. 10 är alltså talet vi multiplicerar, medan 3 är antalet gånger som 10 förekommer. $10^3={10}\cdot{10}\cdot{10}=1\;000$

---

Hur räknar man med tiopotenser?

I potensform kallas talet där nere för basen. För tiopotenser är detta tal alltid 10. Talet som vi upphöjer till kallas istället för exponenten. I tiopotensen $10^3$ är alltså basen 10 och exponenten 3.

Nedan ser du fem vanliga tiopotenser:

$10^1=10$ $10^2={10}\cdot{10}=100$ $10^3={10}\cdot{10}\cdot{10}=1\;000$ $10^4={10}\cdot{10}\cdot{10}\cdot{10}=10\;000$ $10^5={10}\cdot{10}\cdot{10}\cdot{10}\cdot{10}=100\;000$

När vi ser dessa tiopotenser lägger vi kanske märke till ett visst mönster. Vi ser att tiopotensens exponent är detsamma som antalet nollor när talet är utskrivet. 

Vi ser exempelvis att $10^3=1\;000$. Vi räknar antalet nollor i $1\;000$ och upptäcker att det är detsamma som exponenten i grundpotensformen: 3.

Detta trick är särskilt användbart när vi vill skriva om tal från vanlig form till grundpotensform. Om vi ser ett tal med en etta följt av 9 nollor ($1\;000\;000\;000$) vet vi alltså att detta är detsamma som $10^9$

---

Exempel 1: Skriv talet $100\;000\;000\;000$ i grundpotensform

Svar: $10^11$

Lösning: Vi kan räknar antalet nollor i talet $100\;000\;000\;000$ för att ta reda på exponenten i talets grundpotensform. Basen är som alltid 10.

Vi räknar och inser att talet $100\;000\;000\;000$ har 11 nollor (vi är noga med att inte inkludera ettan i vår räkning). Vi har alltså att basen är 10 och att exponenten är 11.

Vi får att $100\;000\;000\;000=10^11$.

Ibland händer det att talet som vi ska skriva om till tiopotens börjar med ett annat tal än ett. Då ser vi till att bryta ut den delen av talet så att talet blir till en etta följd av nollor, innan vi skriver om talet till en tiopotens. Att bryta ut innebär att vi skriver om ett tal till en multiplikation av flera tal genom att ta ut en del av det ursprungliga talet.

Säg att vi vill skriva talet $52\;000$ i grundpotensform. Vi ser att talet börjar med en femma och sedan en tvåa, vilket är ett problem. Därför bryter vi ut de två första siffrorna ur talet och skriver talet som en multiplikation av de två tal som återstår. 

$52\;000={5,2}\cdot{10\;000}$

Det är viktigt att talet vi bryter ut är mellan 1 och 10. Detta betyder alltså att vi bryter ut $5,2$ och inte 52. 

Vi fortsätter sedan med att skriva om $10\;000$ till en tiopotens på vanligt vis. Talet som vi brutit ut, $5,2$, behöver vi inte göra något mer med. $10\;000$ har 4 nollor. Därför gäller att $10\;000=10^4$. Vi är för övrigt noga med att vi räknar antalet nollor i talet efter vi brutit ut $5,2$.

Vi får att $52\;000={5,2}\cdot{10^4}$. Detta är $52\;000$ skrivet i grundpotensform.

---

Exempel 2: Skriv $260\;000$ i grundpotensform

Svar: ${2,6}\cdot{10^5}$

Lösning: Eftersom talet inte börjar med en etta och en nolla börjar vi med att bryta ut den första delen av talet. Talet som vi bryter ut måste vara mellan 1 och 10. Vi bryter därför ut $2,6$.

$260\;000={2,6}\cdot{100\;000}$

Vi fortsätter nu med att skriva om $100\;000$ till en tiopotens. Vi räknar nollorna i $100\;000$ och ser att talet har 5 nollor. På så vis vet vi att $100\;000=10^5$. Vi är noga med att räkna nollorna efter att vi har brutit ut $2,6$.

Vi får att $260\;000=$${2,6}\cdot{10^5}$.

---

Att skriva tal i grundpotensform är inte bara hjälpsamt när vi har mycket stora tal, utan vi kan även använda det för mycket små tal. I detta fall utgår vi ifrån att vi har ett tal med nollor följt av en etta innan vi skriver om det till en tiopotens, liksom $0,000\;001$.

Säg att vi vill skriva talet $0,000\;1$ i grundpotensform. Vi börjar då med att skriva talet som 1 delat med en tiopotens. Precis som innan kan vi räkna antalet nollor i talet $0,000\;1$ för att ta reda på tiopotensens exponent. $0,000\;1$ har 4 nollor, vilket innebär att $0,000\;1=\frac{1}{10^4}$. 

När vi skriver om bråket $\frac{1}{10^4}$ till en tiopotens behöver vi endast ta ut tiopotensen i nämnaren, $10^4$, och sätta ett minustecken framför exponenten. Minustecknet indikerar att vi delar 1 med $10^4$, alltså att talet är mycket litet. Därför är det viktigt att inte glömma bort detta minustecken, eftersom det gör så pass stor skillnad.

Vi får att $0,000\;1=\frac{1}{10^4}=10^{-4}$.

Nedan ser du fem vanliga, små tiopotenser.

$0,1=\frac{1}{10^1}=10^{-1}$ $0,01=\frac{1}{10^2}=10^{-2}$ $0,001=\frac{1}{10^3}=10^{-3}$ $0,000\;1=\frac{1}{10^4}=10^{-4}$ $0,000\;01=\frac{1}{10^5}=10^{-5}$

---

Exempel 3: Skriv $0,000\;000\;001$ i grundpotensform

Svar: $10^{-9}$

Lösning: När vi vill skriva ett mycket litet tal i grundpotensform, som t.ex $0,000\;000\;001$, börjar vi med att skriva talet som 1 delar med en tiopotens. Vi räknar antalet nollor i talet för att ta reda på exponenten i denna tiopotens.

Vi räknar och inser att $0,000\;000\;001$ har 9 nollor. Vi kan därför skriva att $0,000\;000\;001=\frac{1}{10^9}$. 

När vi nu skriver vi om bråket $\frac{1}{10^9}$ till en tiopotens behöver vi endast ta ut tiopotensen i nämnaren, $10^9$, och sedan sätta ett minustecken framför exponenten. Detta gör vi för att betona att vi just delar 1 med $10^9$.

Vi får att $0,000\;000\;001=\frac{1}{10^9}=10^{-9}$.