Kongruens

Så räknar du med kongruens

Tänk dig att vi har en vanlig analog klocka. På den analoga klockan kommer timvisaren peka på samma siffra var tolfte timme, eftersom ett varv runt klockan är 12 timmar. Om klockans timvisare exempelvis pekar på siffran 2, så kommer den peka på siffran 2 igen efter det har gått 12 timmar.

I båda fallen pekar klockans timvisare på 2, även om vi kan tycka att klockan i det andra fallet egentligen är 2+12=14. Hur kan vi förklara detta samband?

Det visar sig att den siffra som timvisaren pekar på är resten när vi delar timmarna som gått med 12. Vi säger alltså att klockan är 2 när 14 timmar har gått, eftersom 14 delat med 12 ger 2 i rest.

\frac{2+12}{12}=

\frac{14}{12}=

1\;rest\;2

Likaså ser vi att vi får 2 i rest när vi delar 2 med 12. Därför pekar timvisaren på 2.

\frac{2}{12}=

0\;rest\;2

När vi jämför rester vid division av heltal kallar vi detta för kongruensräkning. På grund av den starka kopplingen till klockan kallar vi ibland kongruensräkning lite slarvigt för “klockräkning”.

Exempel på kongruens

Om två heltal, a och b, får samma rest när vi delar dem med ett och samma heltal, n, säger vi att talen a och b är kongruenta modulo.

Rent matematiskt skriver vi detta som a \equiv b\;(mod\;n).

Vi ser alltså från vårt exempel i inledningen att 2 och 14 är kongruenta modulo 12 eftersom både 2 och 14 får resten 2 när vi delar dem med 12. Om vi plussar på 12 till 14 så får vi nästa tal som är kongruent med 2 och 14 modulo 12, vilket är 26. Mönstret fortsätter och vi kan plussa på 12 hur många gånger som helst för att få ett annat tal som är kongruent med 2, 14 och 26 modulo 12.

Vi kan alltså plussa på modulon hur många gånger vi vill för att få ett nytt tal som är kongruent med vårt ursprungliga tal. Nedan ser vi ett exempel på hur vi kan använda detta samband för att hitta tal som är kongruenta.

Regler för kongruens

När man arbetar med kongruens, följer vissa regler. Till exempel:

Om a1​≡b1​(mod c) och a2​≡b2​(mod c) så är:

• a1​+a2​≡b1​+b2​(modc)
• a1​⋅a2​≡b1​⋅b2​(modc)

Om a≡b(modc) så är:

• m⋅a≡m⋅b(modc) för alla heltal m.
• an≡bn(modc) för alla heltal n≥0.

Räkneexempel och förklaringar

Exempel: Hitta tre tal som är kongruenta med 1 modulo 5

Svar: 6, 11 och 16

Lösning: Vi vill hitta tre tal som är kongruenta med 1 modulo 5. Det innebär att vi letar efter tre tal som får samma rest som 1 får när vi delar talen 5. Vi börjar därför med att undersöka resten när vi delar 1 med 5.

\frac{1}{5}= 0\;rest\;1

Vi ser att 1 har resten 1 när vi delar talet med 5. Vi vill därmed hitta tre andra tal som får resten 1 vid delning med 5. Vi såg i exemplet ovan att vi kan plussa på talet som är vår modulo, 5, med talet som vi vill hitta kongruenta tal med, 1, för att hitta ett nytt tal som är kongruent med 1 modulo 5.  

1+5=6

Vi har nu hittat ett tal som uppfyller våra kriterier. Vi skriver att 1 \equiv 6\;(mod\;5).

Vi kan nu, istället för att plussa på 5 till 1 en gång, plussa på 5 till 1 två respektive tre gånger för att hitta två andra tal som är kongruenta med 1 modulo 5.

1+5+5=11 1+5+5+5=16

Vi skriver att 1 \equiv 11\;(mod\;5) och att 1 \equiv 16\;(mod\;5).

Vi har alltså hittat tre tal som är kongruenta med 1 modulo 5. De talen är 6, 11 och 16.

---

Ett annat samband som gäller för kongruenta tal är att differensen mellan två kongruenta tal modulo n, är delbar med n. Exempelvis är 2 och 14 kongruenta modulo 12, vilket vi ser eftersom deras differens är delbar med 12.

14-2=12

Vi ser att 12 är delbart med 12 eftersom kvoten är ett heltal: \frac{12}{12}=1.

Alla tal som de två kongruenta talens differens är delbar med kan även skrivas som deras modulo. Exempelvis är differensen mellan 2 och 14, alltså 12, delbar med 1, 2, 3, 4, 6, och 12. Alla dessa tal kan därför skrivas som modulo till de kongruenta talen 2 och 14, förutsatt att vi vet på förhand att talen är kongruenta:

2 \equiv 14\;(mod\;1) 2 \equiv 14\;(mod\;2) 2 \equiv 14\;(mod\;3) 2 \equiv 14\;(mod\;4) 2 \equiv 14\;(mod\;6) 2 \equiv 14\;(mod\;12)

Vi kan använda detta samband när vi vill hitta modulon, n, i en ekvation. Vi ser ett exempel nedan.

---

Exempel: Bestäm talet n så att 9 \equiv 3\;(mod\;n)

Svar: n=6

Lösning: Vi vet att differensen mellan 9 och 3 är delbar med n. Alla tal som differensen är delbar med kan också skrivas som vår modulo, n. Vi letar därmed efter ett heltal n som är delbart med differensen. 

Vi börjar med att hitta differensen mellan 9 och 3.

9-3=6

Vi letar alltså efter ett heltal, n, som vi kan dela 6 med och få ett heltal som svar. Vi upptäcker då att vi kan dela 6 med 6 och få ett heltal, eftersom \frac{6}{6}=1. 

Differensen mellan 9 och 3 är alltså delbar med 6. På så vis vet vi att n=6 är en lösning till ekvationen 9 \equiv 3\;(mod\;n), eftersom alla tal som differensen kan delas med, kan skrivas som modulon.

Vi får alltså att n=6.