Kvadratkomplettering

Räkneexempel och förklaringar

För att kunna använda kvadratkomplettering smidigare så kan vi skriva ner en kvadreringsregel:

$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$.

Låt oss se med ett  exempel hur det kan användas för att lösa en andragradsekvation!

---

Exempel: Lös ekvationen $x^2 + 2x + 1 = 4$.

Från kvadreringsregeln så kan man se att $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$

Men högerledet från kvadreringsregeln är ju samma som vänsterledet i ekvationen vi försöker lösa! Därför kan vi byta ut den delen av ekvationen med vänsterledet i kvadreringsregeln:

$(x+1)^2 = 4$

Nu är ekvationen lättare att lösa! Vi kan ta kvadratroten ur båda sidor $\sqrt{(x+1)^2} = \pm \sqrt{4}$

Förenklar vi båda sidor får vi $x+1 = \pm 2$

Och till sist kan vi subtrahera 1 från båda sidor för att flytta över ettan: $x = - 1 \pm 2$ och lösningarna är alltså $x_1 = 1$ , $x_2 = -3$

Det var ett exempel där vänstersidan av ekvationen redan var på formen i kvadreringsregeln. Men vad händer om den inte är det?

Exempel: Lös ekvationen $x^2 + 6x + 5 = 0$.

Låt oss kolla på vad kvadreringsregeln ger då $a=3$:

$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Nu ser vi att högersidan av kvadreringsregeln inte riktigt stämmer överens med vänstersidan av ekvationen. I båda har vi $x^2$ och även $6x$, men i kvadreringsregeln har vi den konstanta termen 9 medan ekvationen har vi 5. Det vore ju väldigt fiffigt om det stod 9 istället för 5 i ekvationen, eftersom vi då kan använda kvadreringsregeln baklänges. För att uppnå detta lägger vi till 4 på båda sidor om ekvationen:

$x^2 + 6x + 5 + 4 = 0 + 4$

vilket förenklas till $x^2 + 6x + 9 = 4$

Nu har vi att vänstersidan av ekvationen är exakt samma som i kvadreringsregeln, och vi kan alltså stoppa in vänstersidan av kvadreringsregeln i ekvationen:

$(x+3)^2 = 4$

Härifrån kan vi använda våra ekvationslösningsfärdigheter! Vi tar roten ur båda sidor

$x + 3 = \pm 2$ $x = -3 \pm 2$

$x_1 = -1$ , $x_2 = -5$

Men hur vet man vad för $a$ man ska använda i kvadreringsregeln? Om vi kollar på kvadreringsregeln igen

$(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$

Så ser vi att vi har a på två ställen i högerledet – vi har termen $2ax$ och termen $a^2$. Från förra exemplet såg vi att vi kunde få den konstanta termen i ekvationen att matcha $a^2$ oavsett vad a är genom att lägga till något tal på båda sidor. Det som bestämmer vad a måste vara är alltså $2ax$-termen. I en ekvation $x^2 + px + q$ vill vi alltså sätta $a$ så att $px = 2ax$, så att $x$-termen i ekvationen är samma som $x$-termen i kvadreringsregeln.

---

Exempel: Lös ekvationen $x^2 + 8x + 7 = 0$

Vi vill använda kvadreringsregeln, och därför behöver vi att $x$-termen i ekvationen är samma som i kvadreringsregeln. I ekvationen har vi $8x$ som alltså ska vara lika med $2ax$, vilket betyder att  $2 a = 8$

Om vi delar båda sidor på två får vi $a = 4$.

Kvadreringsregeln säger då alltså att $(x+4)^2 = x^2 + 8 x + 16$.

Notera att $x$-termen blev $8x$, vilket var exakt det vi ville ha! Nu ser vi att för att kunna använda kvadreringsregeln i ekvationen så behöver vi att den konstanta termen är 16. För att få den att bli 16 så lägger vi till 9 på båda sidor:

$x^2 + 8 x + 7 + 9 = 0 + 9$ och alltså $x^2 + 8x + 16 = 9$.

Nu är vänsterledet av ekvationen samma sak som högerledet i kvadreringsregeln, så vi kan använda kvadreringsregeln baklänges för att få att ekvationen blir $(x+4)^2 = 9$.

Och härifrån är de igen bara vanlig ekvationslösning. Vi tar kvadratroten ur båda sidor $x+4 = \pm 3$ och tar minus 4 $x = -4 \pm 3$ så $x_1  = -1$ , $x_2 = -7$

Om $x$-termen i ekvationen är negativ så kan man använda den andra kvadreringsregeln $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$

---

Exempel: Lös ekvationen $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Vi ser att $x$-termen är $4x$ vilket alltså ska vara lika med $2ax$. Alltså har vi att $2a = 4$ och därför $a = 2$.

Detta ger att kvadreringsregeln ger:

$(x-2)^2 = x^2 - 4 x + 4$.

Vi vill alltså ha att den konstanta termen i ekvationen är 4, vilket vi får om vi lägger till 1 på båda sidor:

$x^2 -4x + 3 + 1 = 0 + 1$ dvs $x^2 - 4x + 4 = 1$

Vi kan nu byta ut vänsterledet mot kvadreringsregel vänsterled:

$(x-2)^2 = 1$.

Och nu har vi igen en form som man kan lösa. Vi tar kvadratroten:

$x - 2 = \pm 1$ vilket ger $x = 2 \pm 1$ och alltså lösningarna $x_1 = 1$, $x_2 = 3$