Vektor

När man vill beskriva storleken av en kvantitet så kan man använda vanliga tal. Men hur gör man om man vill beskriva inte bara storlek utan även riktningen hos ett fenomen? Då kan man använda vektorer! Som exempel så kanske man färdas 70 km/h österut. Då är 70 km/h storleken och öster är riktningen. Med andra ord är hastigheten en vektor med storleken 70 km/h och riktningen öster.

För att behandla vektorer visuellt så ritar man ofta pilar i ett koordinatsystem, eftersom pilar kan ha både storlek (längden på pilen) och riktning. Utifrån koordinatsystemet kan man då ange vektorns koordinater, som beräknas som skillnaden mellan koordinaterna för pilens startpunkt och pilens slutpunkt.

Vad är vektor?

En vektor representerar en riktad storhet med både storlek (magnitud) och riktning. Vektor kan användas för att beskriva förflyttningar, hastigheter eller krafter i olika sammanhang. Vanligtvis representeras det som en pil eller en riktad linje och kan innehålla komponenter längs olika axlar eller dimensioner. Vektorer är mest användbart i koordinatsystem och i kontexten av kraft och acceleration. Däremot finns det olika typer av vektorer, låt oss ta en titt på dem!

Enhetsvektor

Enhetsvektor har en längd eller magnitud av 1 och används ofta som standardreferenser inom vektorberäkningar. De hjälper till att ange riktningar och kan användas för att normalisera eller skalera andra vektorer.

Ortsvektor

En ortsvektor är en typ av vektor som används för att representera positionen för en punkt eller ett objekt i ett koordinatsystem. Istället för att ange exakta koordinater för punkten används ortsvektorn för att ange positionen relativt till en ursprungspunkt, vanligtvis betecknad som O.

Riktningsvektorer

Dessa används för att beskriva en specifik riktning utan att nödvändigtvis ange en position. De kan användas för att representera rörelser, krafter, hastigheter eller andra fysikaliska storheter.

Räkneexempel med vektor

Exempel: Vad för koordinater har vektorerna i bilden?

Vi börjar med $\vec{v_1}$ , vars ändpunkt har x-koordinaten 1 och y koordinaten 2. Startpunkten är i origo, med x-koordinat 0 och y-koordinat 0. Därför har vektorn en x-koordinat som är $1 - 0 = 1$ och en y-koordinat som är $2 - 0 = 2$ . Alltså är vektorns koordinater $(2, 1)$ .

Notera att när startpunkten är i origo så kommer vektorns koordinater vara samma sak som ändpunktens koordinater, eftersom vi bara kommer ta minus 0 ner vi tar ändpunkten minus startpunkten.

Om vi nu kollar på $\vec{v_2}$ så ser vi att igen så ligger startpunkten i origo, så igen kommer vektorns koordinater vara samma som ändpunktens koordinater. Vi ser att x-koordinaten för vektorns ändpunkt är -2 och y-koordinaten är -2, så vektorns koordinater är $(-2, -2)$ .

Slutligen har vi $\vec{v_3}$ , som också har startpunkt i origo. Ändpunkten har x-koordinaten 1 och y-koordinaten -1, så vektorns koordinater är $(1, -1)$ .

Få toppresultat i matte med Allakando

Besegra matten med hjälp av en personlig studiecoach!

Läs mer

Exempel: Vad för koordinater har vektorerna i bilden?

Vi kan igen börja med $\vec{v_1}$ . Där har startpunkten x-koordinaten -2, och ändpunkten har x-koordinaten -2. Alltså är vektorns x-koordinat $(-2) - (-2) = 0$ .

Sedan så har startpunkten y-koordinaten -2 och ändpunkten har y-koordinaten 1, så vektorns y-koordinat blir $1 - (-2) = 3$ .

Alltså är vektorns koordinater $\vec{v_1} = (0,3)$ .

Om vi nu kollar på $\vec{v_2}$ så ser vi att startpunktens koordinater är $(1, 2)$ medan ändpunkten har koordinaterna $(2, -1)$ . Därför blir vektorns x-koordinat $2 - 1 = 1$ och dess y-koordinat blir $(-1) - 2 = -3$ .

Alltså är vektorns koordinater $\vec{v_2} = (1,-3)$ .

Slutligen kollar vi på $\vec{v_3}$ , vars startpunkt har koordinaterna $(-1, -1)$ och ändpunkt har koordinaterna $(0, 0)$ . Alltså är vektorns x-koordinat $0 - (-1) = 1$ och vektorns y-koordinat är $0 - (-1) = 1$ .

Så vektorn har koordinater (1,1).