Sammanfattning av nationella provet i matte årskurs 9

Det är viktigt att man har bra koll på vad som kan komma upp på nationella provet. Därför har vi samlat allt som du i årskurs 9 kan behöva veta – allt från potenser och bråk till geometri och statistik!

/Fredrik Fridlund på Allakando

Sammanfattning av nationella provet i matte 1

Tal

Räknelagar

Prioriteringsregler

Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning:

Parenteser
Exponenter
Multiplikation och division
Addition och subtraktion

Exempel: Beräkna $10 + 5 \cdot (7-4)^2$

$= 10 + 5 \cdot (\bm 3)^2 \qquad$ Först beräknas parentesen,
$= 10 + 5 \cdot \bm 9 \qquad\quad$ därefter potensen,
$= 10 + \bm{45} \qquad\quad\;\;$ sedan multiplikationen,
$= \bm{55} \qquad\qquad\quad\;\;\;$ och till sist additionen.

Negativa tal – Krockregler

Två lika tecken ger plus och två olika tecken ger minus

+ + ger + – – ger +

+ – ger – – + ger –

Om det inte står något tecken framför en siffra är det underförstått att det är ett positivt tal: ”3” motsvarar ”+3”.

Parenteser

När parentesen tas bort krockar de två tecknen och de måste bytas ut mot antingen ett minus‐ eller plustecken.

$7 + (-2) = 7-2 = 5$ ‎

$7 - (-2) = 7+2 = 9$ ‎

$-(5-3 ) = -5 + 3 = -2$ ‎

Multiplikation

Vid multiplikation krockar tecknen och de måste bytas ut.

$-7 \cdot (-3) = 21$ ‎

$- 3 \cdot 5 = - 15$ ‎

$-3 \cdot (-3) \cdot (-3) = 9\cdot (-3) = -27$ ‎

Division

Vid division krockar tecknen och de måste bytas ut.

$\frac{-10}{-2} = 5$ ‎	$\frac{-8}{2} = -4$ ‎
$\frac{16}{-4} = -4$ ‎	$\frac{49}{7} = 7$ ‎

Svårigheter med negativa tal

Vid vanlig plus och minus krockar inte tecknen och de behöver därför inte bytas ut.

Exempel: $-8 + 12 = 4 \qquad {-10}-14 = -24$

Potenser

En potens består av en bas och en exponent. 29 är en potens med basen 2 och exponenten 9.

Grundpotensform

Grundpotensform innebär atttalärskrivetsomen faktor av två tal: Det ena talet ska vara mellan 1 och 10 och det andra en tiopotens

Potenslagar

Följande lagar gäller när man räknar med potenser.

$a^x \cdot a^y = a^{x+y}$	$\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$	$(a^x)^y = a^{xy}$
$\frac{1}{a^x} = a^{-x}$	$a^0 = 1$

Obs! För att kunna använda potenslagarna måste vi ha samma bas.

Bråk

Tal i bråkform har en nämnare och en täljare. En minnesregel kan vara ”Nämnaren står nederst, täljaren står på taket och kvoten blir kvar”.

\begin{aligned}\frac{\text{T\"aljare}}{\text{N\"amnare}} = \text{kvot}\end{aligned}

Förlängning & Förkortning

Man får förlänga och förkorta bråk hur man vill så länge man gör samma sak uppe och nere.

Exempel: $\frac{3}{2} = \frac{3\cdot5}{2\cdot5} = \frac{15}{10}$ ‎

$\frac{3}{2}$ är alltså precis samma sak som $\frac{15}{10}$ ‎

Exempel: $\frac{40}{16} = \frac{40/8}{16/8} = \frac{5}{2}$

Addition & Subtraktion

Vid addition och subtraktion av bråk måste bråken ha samma nämnare. Om så är fallet lägger man bara ihop täljarna.

Exempel: Vad är $\frac{7}{9}+\frac{11}{9} ?$ ‎

Svar: $\frac{7}{9}+\frac{11}{9}=\frac{7+11}{9}=\frac{18}{9}=2$ ‎

Exempel: Vad är $\frac{4}{3}+\frac{5}{2}$ ?

Svar: För att fả gemensamma nämnare fảr vi förlänga $4 / 3$ med ${\color{#3396C9} 2}$ , och $5 / 2$ med ${\color{#96C933} 3}$ .

$\begin{aligned} &\frac{4}{3}+\frac{5}{2}=\frac{4 \cdot {\color{#3396C9} 2}}{3 \cdot {\color{#3396C9} 2}}+\frac{5 \cdot {\color{#96C933} 3}}{2 \cdot {\color{#96C933} 3}}=\frac{8}{6}+\frac{15}{6}=\frac{8+15}{6}=\frac{23}{6} \end{aligned}$ ‎

Multiplikation

Multipliceras nämnare med nämnare och täljare med täljare.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{5}{7}=\frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 7}=\frac{40}{21}$ ‎

Division

Multiplicerar täljaren med nämnarens inverterade värde.

$\begin{aligned}\frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{7}}=\frac{4}{3} \cdot \frac{7}{5}=\frac{4 \cdot 7}{3 \cdot 5}=\frac{28}{15}\end{aligned}$ ‎

Inverterade värdet innebär att nämnaren och täljaren har bytt plats

$\frac{3}{7} \rightarrow \frac{7}{3} \qquad \frac{4}{9} \rightarrow \frac{9}{4}$ ‎

Procent

Procent betyder hundradel.

När man räknar med procent finns det tre olika delar. Genom att ställa upp en triangel kan man se sambanden mellan delarna.

Tre basproblem

Inom procent finns det tre basproblem.

1. Hur stor är delen?

$12 \% \text{ av } 3000 =$ ‎
$= 0,12 \cdot 3000 = 360$

$\text{delen} = \text{andelen} \cdot \text{det hela}$

2. Vad är andelen?

Hur mycket är 14 av 25?
$\frac{14}{25} = 0,56 = 56 \%$

$\frac{\text{delen}}{\text{det hela}} = \text{andelen}$

3. Hur stor del av det hela?

15 % av ett tal är 300. Vilket är talet?
$\frac{300}{0,15} = 2000$

$\frac{\text{delen}}{\text{andelen}} = \text{det hela}$

Algebra & Ekvationer

Begrepp	Förklaring
Variabel	Ett okänt tal, t.ex $x$
Uttryck	Saknar likhetstecken, t.ex. $5x + 10$
Ekvation	En likhet där minst ett tal är okänt. Talet har ersats med en bokstav, t.ex $5+x = 12$
Lösning	Ett värde för $x$ som gör att det står lika mycket på båda sidor om likhetstecknet, t.ex. $5+x = 12$ Ekvationen har lösningnen $x=7$ eftersom $5 + 7 = 12$

Ekvationer

När man löser en ekvation tar man reda på det eller de värden på x som gör at det blir lika mycket på båda sidor.

I praktiken innebär det att man ska få x ensamt på en sida, får att då se vilket värde det har. För att göra detta kan du använda dig av de fyra räknesätten. Du kan använda dem hur du vill bara du gör exakt samma sak på båda sidor.

Ett algebraiskt uttryck innebär att man har en eller flera bokstäver, variabler, som man kan byta ut med olika värden.

Endast rörligt värde

Exempel: Ken köper ris som kostar 12 kr/kg.

Kostnaden kan beskrivas med uttrycket $y = 12x$ .

Då vi inte har något fast värde är priset vi betalar direkt proportionellt mot mängden ris Ken köper. Om Ken inte köper något ris behöver han inte betala något.

Rörligt och fast värde

Exempel: Att gå på ett tivoli kostar 200 kr i inträde. Om man ska åka karuseller kostar det sedan 50 kr per åktur.

Kostnaden kan beskrivas med uttryck $y = 50x + 200$

Det fasta värdet innebär att även om vi inte åker någon karusell kostar det fortfarande 200 kr i inträde, bara för att komma in på tivolit.

Linjära funktioner

Linjära funktioner består oftast av ett rörligt och ett fast värde. Det rörliga värdet är det som står bredvid 􏱠 och det fasta värdet är det som står ensamt.

När man arbetar med linjära funktioner arbetar man antingen med grafer och textuppgifter.

Grafer

Exempel: Grafen nedan visar kostnaden för att anlita en snickare x timmar. Sätt upp en funktion för kostnaden.

Lösning: Vi ska ställa upp en funktion med ett rörligt och ett fast värde.

Det rörliga värdet är så mycket som grafen förändras när x ökar med ett.

När $x = 0$ är $y = 200$ . När $x = 2$ är $y = 500$ . Det innebär att $y$ har ökat med 300 då $x$ ökar med 2.

Om $x$ ökar med 1 ökar alltså $y$ med $\frac{300}{2} = 150$

Rörliga värdet $= 150$

Det fasta värdet är där grafen skär y-axeln.

Fast värde $= 200$

Svar: Funktionen är $y = 150x + 200$

Geometri

Enhetsomvandling & skala

Skala

Skala används för att du från en bild ska kunna veta hur stort/långt föremålet är i verkligheten.

En bild i skalan 1:50 betyder att:

Bilden är 50 ggr mindre än verkligheten
Bilden är en förminskning

En bild i skala 10:1 betyder att:

Bilden är 10 ggr större än verkligheten
Bilden är en förstoring

Exempel: Ken har 4 km till skolan. På en karta är sträckan 2 cm. Vilken skala är kartan ritad i?

Omvandla till samma enhet. I detta fall omvandlar vi till centimeter:
$\quad4 \mathrm{~km}=4000 \mathrm{~m}=400\;000 \mathrm{~cm} \text {. }\\$ ‎
Ställ upp uttrycket $\frac{\text { Bild }}{\text { Verklighet }}$ och sätt in dina värden:
$\quad\frac{\text { Bild }}{\text { Verklighet }}=\frac{2 \mathrm{~cm}}{400\;000 \mathrm{~cm}}=\frac{1 \mathrm{~cm}}{200\;000 \mathrm{~cm}}\\$ ‎
Skriv om det som Täljare : Nämnare för att fă fram skalan:
$\quad$ Täljare : Nämnare $=1: 200 \; 000$ ‎

Svar: Kartan är ritad i skala 1:200 000. Det är alltså en förminskning; verkligheten är 200 000 ggr större än kartan.

Enhetsomvandling

Volymer

Teori: Vi studerar en kub med sidan 1 m = 10 dm.

Sida: $1 \mathrm{~m}$

Arean för en sida: $1 \mathrm{~m}^{2}$

Volymen: $1 \mathrm{~m}^{3}$

Sida: $10 \mathrm{dm}$

Arean för en sida: $100 \mathrm{dm}^{2}$

Volymen: $1000 \mathrm{dm}^{3}$

\begin{aligned} &1 m=10 \mathrm{dm}=100 \mathrm{~cm} \\ &1 \mathrm{~m}^{2}=100 \mathrm{dm}^{2}=10000 \mathrm{~cm}^{2} \\ &1 \mathrm{~m}^{3}=1000 \mathrm{dm}^{2}=1000000 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned}

Geometri

Areor & volymer

Formler för areor och volymer finns på formelbladet så dem behöver man inte lära sig utantill. När man använder en formel byter man ut bokstäverna mot de siffror man fått.

Exempel: Beräkna volymen för en kon med diametern 12 cm och höjden 18 cm.

Vi tar fram volymformeln för en kon från formelbladet:

Basarean B beräknas som arean för en cirkel; $\pi \cdot r^2$ . Radien är halva diametern; 6 cm. $B = \pi \cdot 6^2 \approx 113$

Nu vet vi att ${\color{#96C933} B =133}$ och ${\color{#3396C9} h = 18}$ , så nu kan vi använda volymformeln:

$\text{Volym } = \frac{{\color{#96C933} B} \cdot {\color{#3396C9} h}}{3} = \frac{{\color{#96C933} 113} \cdot {\color{#3396C9} 18}}{3} = 678 \; cm^3$ ‎

Svar: Volymen för konen är $678 \; cm^3$

Vinklar

Statistik & Sannolikhet

Statistik & Lägesmått

Lägesmått

Det finns tre typer av lägesmått man ska kunna:

$\mathbf{\text{Medelv\"arde}} = \frac{\text{summan av alla v\"arden}}{\text{antalet v\"arden}}$
$\mathbf{\text{Median}} = \text{mittenv\"ardet i en talf\"oljd (i storleksordning)}$
$\mathbf{\text{Typev\"arde}} = \text{v\"ardet som f\"orekommer flest g\aa nger}$

Statistik

På de nationella proven är det vanligt att det kommer minst en uppgift som innebär att du ska tolka ett diagram; avläsa något ur det. Däremot krävs inte kunskapen att kunna rita ett avancerat diagram själv.

Följande diagramtyper ska kunna tolkas:

1. Stapeldiagram 2. Linjediagram 3. Cirkeldiagram

Frekvens

I tolkning av diagram talas det ibland om frekvenser.

Frekvensen ăr hur många gånger ett vărde förekommer.
Relativa frekvensen $=\frac{\text { frekvensen }}{\text { totala antalet }}$

Exempel: Diagrammet nedan visar hur många syskon som eleverna i en klass har.

a) Hur mănga elever har tre syskon?
b) Hur mảnga elever găr det i klassen?
c) Bestäm den relativa frekvensen för att ha två syskon

Svar:

a) Sex personer har tre syskon.
b) Det gảr 31 personer i klassen.
c) Den relativa frekvensen är $\frac{4}{31} \rightarrow 12,9 \%$

En sannolikhet kan anges i bråkform, decimalform eller i procent.

Exempel: Ett lotteri har 800 lotter varav 25 är vinstlotter. Vad är sannolikhet att få en vinstlott om man köper en lott?

Lösning: Sannolikheten beräknas genom att dela antalet gynnsamma utfall på antalet möjliga utfall. Här är de gynnsamma utfallen 25, då det finns 25 vinstlotter. Antalet möjliga utfall är 800 då det finns 800 lotter.

Svar: $\frac{25}{800} = 3,125 \; \%$